微积分

一、导数和微分

假设我们有一个函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。

如果$f$的导数存在，这个极限被定义为($$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$)

如果$f^{\prime }(a)$存在，则称$f$在$a$处是可微（differentiable）的。
如果$f$在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。

%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

当$x=1$时，导数$u^{\prime }$是$2$。

def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1

h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003

注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。
因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

# use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像
def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

# set_figsize函数来设置图表大小
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

# set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性
#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

# 定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线
#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

[绘制函数$u=f(x)$及其在$x=1$处的切线$y=2x-3$]，其中系数$2$是切线的斜率

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
    

二、偏导数

设$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$是一个具有$n$个变量的函数。

$y$关于第$i$个参数$x_i$的偏导数（partial derivative）为：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}.$$

为了计算$\frac{\partial y}{\partial x_i}$，可以简单地将$x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n$看作常数，并计算$y$关于$x_i$的导数。
对于偏导数的表示，以下是等价的：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_{i}f=D_{x_i}f.$$

三、梯度

连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。
具体而言，设函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$的输入是一个$n$维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$，并且输出是一个标量。
函数$f(\mathbf{x})$相对于$\mathbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量:

$${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})=[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}{]}^{\top },$$

其中${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})$通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$取代。

假设$\mathbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\top }$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{A}$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{Ax}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\top })\mathbf{x}$
• ${\nabla }_{\mathbf{x}}\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}=2\mathbf{x}$

同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有${\nabla }_{\mathbf{X}}\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2=2\mathbf{X}$。

三、链式法则

链式法则可以被用来微分复合函数。

单变量函数中，假设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可微的，根据链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

函数具有任意数量的变量的情况：
假设可微分函数$y$有变量$u_1,u_2,\dots ,u_m$，其中每个可微分函数$u_i$都有变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$。
注意，$y$是$x_1,x_2，\dots ,x_n$的函数。
对于任意$i=1,2,\dots ,n$，链式法则给出：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial y}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_i}+\frac{\partial y}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_i}+\cdots +\frac{\partial y}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_i}$$

小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。

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内容声明
本文基于开源教材《动手学深度学习》（Dive into Deep Learning, 作者：Aston Zhang、Zachary C. Lipton、Mu Li、Alexander J. Smola 等）整理，原始项目地址：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh。
在整理过程中对部分内容进行了删改和补充，仅用于个人学习与交流，版权归原作者所有。

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