线性回归

一、线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）基于几个简单的假设：
首先，假设自变量$\mathbf{x}$和因变量$y$之间的关系是线性的，即$y$可以表示为$\mathbf{x}$中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；

其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

1.1 线性模型

线性假设是指目标可以表示为特征的加权和，如下面的式子：

$$\mathrm{price}=w_{\mathrm{area}}\cdot \mathrm{area}+w_{\mathrm{age}}\cdot \mathrm{age}+b.$$

• $w_{\mathrm{area}}$和$w_{\mathrm{age}}$称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
• $b$称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。

2.2 损失函数

• 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

• 当样本$i$的预测值为${\hat{y}}^{(i)}$，其相应的真实标签为$y^{(i)}$时，平方误差可以定义为以下公式：

  $$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2.$$

  • 常数$\frac{1}{2}$不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。

• 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$个样本上的损失均值（也等价于求和）。

  $$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

• 在训练模型时，我们希望寻找一组参数（${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }$），
  这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

  $${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=\underset{\mathbf{w},b}{\mathrm{argmin}}L(\mathbf{w},b).$$

2.3 解析解

• 与其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。
• 首先，我们将偏置$b$合并到参数$\mathbf{w}$中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。
• 我们的预测问题是最小化$\Vert \mathbf{y}-\mathbf{Xw}{\Vert }^2$。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。
• 将损失关于$\mathbf{w}$的导数设为0，得到解析解：$${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}.$$

2.4 随机梯度下降

• 梯度下降（gradient descent）方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

• 梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。

• 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

• 小批量随机梯度下降：在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$，并从当前参数的值中减掉。

• 用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\partial$表示偏导数）：

  $$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b).$$

• 总结一下，算法的步骤如下：

  1. 初始化模型参数的值，如随机初始化；
  2. 从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right),\\ b& \leftarrow b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}$$

• $|\mathcal{B}|$表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。
• $\eta$表示学习率（learning rate）。
• 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

2.5 用模型进行预测

• 给定“已学习”的线性回归模型${\hat{\mathbf{w}}}^{\top }\mathbf{x}+\hat{b}$，现在我们可以通过房屋面积$x_1$和房龄$x_2$来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。
• 给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

二、矢量化加速

同时处理整个小批量的样本需要对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

通过两种方法实例化两个全为1的10000维向量

n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])

我们定义一个计时器

# 定义一个计时器用于时间基准测试
class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

我们使用for循环，每次执行一位的加法

# 使用for循环，每次执行一位的加法
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.16749 sec'

使用重载的+运算符来计算按元素的和

# 使用重载的`+`运算符来计算按元素的和
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.00042 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。

三、正态分布与平方损失

简单的说，若随机变量$x$具有均值$\mu$和方差${\sigma }^2$（标准差$\sigma$），其正态分布概率密度函数如下：

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2\right).$$​

计算正态分布

# 计算正态分布
def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

可视化正态分布

# 可视化正态分布

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

改变均值会产生沿$x$轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值

• 均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如该式:$$y={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b+ϵ,$$其中，$ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$。
• 通过给定的$\mathbf{x}$观测到特定$y$的似然（likelihood）：$$P(y\mid \mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-{\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}-b{)}^2\right).$$
• 根据极大似然估计法，参数$\mathbf{w}$和$b$的最优值是使整个数据集的似然最大的值：$$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|{\mathbf{x}}^{(i)}).$$根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。
• 可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。
• 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})$​。由此可以得到的数学公式是：$$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)+\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}-b\right)}^2.$$
• 现在我们只需要假设$\sigma$是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于$\mathbf{w}$和$b$。现在第二项除了常数$\frac{1}{{\sigma }^2}$外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。幸运的是，上面式子的解并不依赖于$\sigma$。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

四、从线性回归到深度网络

4.1 神经网络图

我们将线性回归模型描述为一个神经网络。需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

• 在该神经网络中，输入为$x_1,\dots ,x_d$，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为$d$。

• 网络的输出为$o_1$，因此输出层中的输出数是1。

• 需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。

• 由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，图中神经网络的层数为1。

• 可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

• 对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（ 图中的输出层）称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

小结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。

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内容声明
本文基于开源教材《动手学深度学习》（Dive into Deep Learning, 作者：Aston Zhang、Zachary C. Lipton、Mu Li、Alexander J. Smola 等）整理，原始项目地址：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh。
在整理过程中对部分内容进行了删改和补充，仅用于个人学习与交流，版权归原作者所有。

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