三、概率论基础

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前面python的基础内容算是完成了，接下来将要进入机器学习部分了。

具体的专栏内容请参考：

人工智能专栏

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3.1 概率分布与随机变量

3.1.1 概率分布的定义与类型

概率分布描述了随机变量取不同值的概率规律，在护理研究中用于建模患者特征和治疗效果。

理论推导：

1. 离散型随机变量：概率质量函数（PMF）$P(X=x)$

2. 连续型随机变量：概率密度函数（PDF）$f(x)$，满足${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

护理案例：

在青少年抑郁症研究中，我们可能遇到以下分布：

• 二项分布：某班级中患抑郁症的人数

• 正态分布：HAMD 评分的总体分布

• 泊松分布：特定时间内自杀念头出现的次数

3.1.2 常见概率分布及其应用

理论推导：

1. 二项分布：$P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p{)}^{n-k}$

2. 正态分布：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

3. 泊松分布：$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

护理案例：

假设青少年抑郁症患病率为 15%，计算 100 名学生中恰好有 10 人患病的概率。

PyCharm 操作：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 1. 二项分布示例：青少年抑郁症患病率
n_students = 100
p_depression = 0.15
k_values = np.arange(0, n_students + 1, 5)

# 计算概率质量函数
binomial_pmf = stats.binom.pmf(k_values, n_students, p_depression)

print("二项分布示例：100名学生中患抑郁症人数的概率")
for k, prob in zip(k_values, binomial_pmf):
    print(f"恰好{k}人患病：P = {prob:.4f}")

# 2. 正态分布示例：HAMD评分分布
mu_hamd = 18  # 平均HAMD评分
sigma_hamd = 5  # 标准差
x_hamd = np.linspace(mu_hamd - 3*sigma_hamd, mu_hamd + 3*sigma_hamd, 1000)
normal_pdf = stats.norm.pdf(x_hamd, mu_hamd, sigma_hamd)

print(f"\n正态分布示例：HAMD评分分布")
print(f"均值μ = {mu_hamd}，标准差σ = {sigma_hamd}")
print(f"评分>25分的概率：{1 - stats.norm.cdf(25, mu_hamd, sigma_hamd):.4f}")
print(f"评分在10-25分之间的概率：{stats.norm.cdf(25, mu_hamd, sigma_hamd) - stats.norm.cdf(10, mu_hamd, sigma_hamd):.4f}")

# 3. 泊松分布示例：自杀念头出现次数
lambda_suicide = 2.5  # 平均每天出现2.5次自杀念头
k_suicide = np.arange(0, 10)
poisson_pmf = stats.poisson.pmf(k_suicide, lambda_suicide)

print(f"\n泊松分布示例：每天自杀念头出现次数")
for k, prob in zip(k_suicide, poisson_pmf):
    print(f"每天出现{k}次的概率：{prob:.4f}")


plt.tight_layout()
plt.show()

3.2 随机变量的数字特征

随机变量的数字特征包括期望、方差等，用于描述随机变量的集中趋势和离散程度。

3.2.1 期望与方差

理论推导：

1. 期望（均值）：

• 离散型：$E[X]={\sum }_{x}xP(X=x)$

• 连续型：$E[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$

1. 方差：

• $Var(X)=E[(X-E[X]{)}^2]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$

1. 协方差：$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$

护理案例：

计算青少年抑郁症患者的平均年龄、HAMD 评分的方差、年龄与评分的协方差。

3.2.2 协方差与相关系数

理论推导：

相关系数：${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$

相关系数的取值范围为 [-1, 1]，表示两个变量之间线性关系的强度和方向。

护理案例：

分析青少年抑郁症患者的年龄与 HAMD 评分的相关性，以及不同症状之间的相关性。

PyCharm 操作：

# 随机变量数字特征计算
import numpy as np

# 创建患者数据（年龄、HAMD评分、性别）
np.random.seed(42)
n_patients = 100

# 年龄（12-18岁）
ages = np.random.randint(12, 19, n_patients)

# HAMD评分（与年龄相关）
# 年龄越大，HAMD评分越高（轻度相关）
hamd_scores = 15 + 0.5 * ages + np.random.normal(0, 3, n_patients)
hamd_scores = np.clip(hamd_scores, 5, 40)  # 限制在合理范围内

# 性别（0-1）
genders = np.random.randint(0, 2, n_patients)

# 计算期望（均值）
mean_age = np.mean(ages)
mean_hamd = np.mean(hamd_scores)
print("患者基本统计信息：")
print(f"平均年龄：{mean_age:.1f}岁")
print(f"平均HAMD评分：{mean_hamd:.1f}分")

# 计算方差和标准差
var_age = np.var(ages)
std_age = np.std(ages)
var_hamd = np.var(hamd_scores)
std_hamd = np.std(hamd_scores)

print(f"年龄方差：{var_age:.1f}")
print(f"年龄标准差：{std_age:.1f}")
print(f"HAMD方差：{var_hamd:.1f}")
print(f"HAMD标准差：{std_hamd:.1f}")

# 计算协方差
cov_age_hamd = np.cov(ages, hamd_scores)[0, 1]
print(f"年龄与HAMD评分协方差：{cov_age_hamd:.1f}")

# 计算相关系数
corr_age_hamd = np.corrcoef(ages, hamd_scores)[0, 1]
print(f"年龄与HAMD评分相关系数：{corr_age_hamd:.3f}")

# 计算不同性别的统计信息
female_mask = (genders == 0)
male_mask = (genders == 1)

print(f"\n女性患者（{np.sum(female_mask)}人）：")
print(f"平均年龄：{np.mean(ages[female_mask]):.1f}岁")
print(f"平均HAMD评分：{np.mean(hamd_scores[female_mask]):.1f}分")

print(f"\n男性患者（{np.sum(male_mask)}人）：")
print(f"平均年龄：{np.mean(ages[male_mask]):.1f}岁")
print(f"平均HAMD评分：{np.mean(hamd_scores[male_mask]):.1f}分")

# 创建症状相关矩阵（基于真实研究数据）
# 5个主要症状：抑郁情绪、睡眠障碍、食欲改变、疲劳、注意力集中困难
symptom_names = ['抑郁情绪', '睡眠障碍', '食欲改变', '疲劳', '注意力集中困难']
n_symptoms = len(symptom_names)

# 生成相关的症状数据
correlation_matrix = np.array([
    [1.0, 0.6, 0.5, 0.7, 0.6],
    [0.6, 1.0, 0.4, 0.5, 0.5],
    [0.5, 0.4, 1.0, 0.3, 0.4],
    [0.7, 0.5, 0.3, 1.0, 0.6],
    [0.6, 0.5, 0.4, 0.6, 1.0]
])

# 生成100名患者的症状评分（基于多元正态分布）
np.random.seed(42)
mean_scores = np.array([2.5, 2.0, 1.8, 2.2, 2.1])  # 各症状平均评分
symptom_data = np.random.multivariate_normal(mean_scores, correlation_matrix, n_patients)
symptom_data = np.clip(symptom_data, 0, 4)  # 限制在0-4分范围

# 计算症状间的相关系数矩阵
correlation_matrix_sample = np.corrcoef(symptom_data.T)
print("\n症状相关系数矩阵（样本）：")
print(np.round(correlation_matrix_sample, 3))

3.3 贝叶斯定理

贝叶斯定理是概率论中的重要定理，在机器学习的贝叶斯分类器中有着核心应用。

3.3.1 贝叶斯定理的数学推导

理论推导：

贝叶斯定理的基本形式：

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

全概率公式：

$P(B)={\sum }_{i}P(B|A_i)P(A_i)$

扩展形式：

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{{\sum }_{j}P(B|A_j)P(A_j)}$

3.3.2 贝叶斯推断在护理诊断中的应用

在护理诊断中，贝叶斯定理可以用于根据症状推断疾病概率。

护理案例：

青少年抑郁症诊断：

• 已知青少年抑郁症患病率为 15%

• 抑郁症患者出现持续悲伤症状的概率为 80%

• 非抑郁症青少年出现悲伤症状的概率为 20%

• 如果一个青少年出现悲伤症状，他患抑郁症的概率是多少？

PyCharm 操作：

# 贝叶斯定理在护理诊断中的应用
import numpy as np

# 案例1：青少年抑郁症诊断
print("案例1：青少年抑郁症诊断")

# 定义概率
p_depression = 0.15  # 抑郁症患病率
p_sad_given_depression = 0.80  # 抑郁症患者出现悲伤的概率
p_sad_given_not_depression = 0.20  # 非抑郁症青少年出现悲伤的概率

# 计算后验概率
p_depression_given_sad = (p_sad_given_depression * p_depression) / (
    p_sad_given_depression * p_depression + p_sad_given_not_depression * (1 - p_depression)
)

print(f"先验概率：P(抑郁症) = {p_depression:.0%}")
print(f"似然度：P(悲伤|抑郁症) = {p_sad_given_depression:.0%}")
print(f"似然度：P(悲伤|非抑郁症) = {p_sad_given_not_depression:.0%}")
print(f"后验概率：P(抑郁症|悲伤) = {p_depression_given_sad:.0%}")

# 案例2：多种症状的贝叶斯诊断
print("\n案例2：多种症状的贝叶斯诊断")

# 定义症状和疾病概率
symptoms = ['悲伤', '睡眠障碍', '食欲改变']
disease_prob = {
    '抑郁症': 0.15,
    '焦虑症': 0.10,
    '正常': 0.75
}

# 条件概率：P(症状|疾病)
conditional_prob = {
    '悲伤': {
        '抑郁症': 0.80,
        '焦虑症': 0.60,
        '正常': 0.10
    },
    '睡眠障碍': {
        '抑郁症': 0.70,
        '焦虑症': 0.75,
        '正常': 0.15
    },
    '食欲改变': {
        '抑郁症': 0.60,
        '焦虑症': 0.30,
        '正常': 0.10
    }
}

# 患者出现的症状
patient_symptoms = ['悲伤', '睡眠障碍']

# 计算后验概率
posterior_prob = {}
for disease in disease_prob:
    # 计算联合概率 P(症状|疾病) * P(疾病)
    joint_prob = disease_prob[disease]
    for symptom in patient_symptoms:
        joint_prob *= conditional_prob[symptom][disease]
    
    posterior_prob[disease] = joint_prob

# 归一化得到后验概率
total = sum(posterior_prob.values())
for disease in posterior_prob:
    posterior_prob[disease] /= total

print("\n患者症状：", ', '.join(patient_symptoms))
print("\n疾病概率分布：")
for disease, prob in posterior_prob.items():
    print(f"P({disease}|症状) = {prob:.0%}")

# 案例3：贝叶斯更新过程
print("\n案例3：贝叶斯更新过程演示")

# 初始先验概率
prior = 0.15
print(f"初始先验概率：P(抑郁症) = {prior:.0%}")

# 依次加入症状证据
for symptom in symptoms:
    # 计算似然比
    likelihood_ratio = conditional_prob[symptom]['抑郁症'] / conditional_prob[symptom]['正常']
    # 贝叶斯更新：后验 = 先验 * 似然比
    prior = prior * likelihood_ratio / (prior * likelihood_ratio + (1 - prior))
    print(f"加入症状'{symptom}'后：P(抑郁症|症状) = {prior:.0%}")

# 案例4：贝叶斯参数估计（治疗效果）
print("\n案例4：贝叶斯参数估计（药物治疗效果）")

# 假设我们有一个新药试验
# 先验分布：使用Beta分布，参数α=2, β=8（表示成功率约20%）
alpha_prior = 2
beta_prior = 8

# 试验结果：治疗20人，12人有效
successes = 12
trials = 20

# 后验分布参数
alpha_post = alpha_prior + successes
beta_post = beta_prior + (trials - successes)

print(f"\n先验分布：Beta({alpha_prior}, {beta_prior})")
print(f"试验结果：{successes}人有效 / {trials}人")
print(f"后验分布：Beta({alpha_post}, {beta_post})")

# 计算后验均值
posterior_mean = alpha_post / (alpha_post + beta_post)
print(f"后验均值（估计成功率）：{posterior_mean:.0%}")

# 计算95%置信区间
from scipy import stats
ci_lower = stats.beta.ppf(0.025, alpha_post, beta_post)
ci_upper = stats.beta.ppf(0.975, alpha_post, beta_post)
print(f"95%置信区间：({ci_lower:.0%}, {ci_upper:.0%})")