摘要

今天学习了高斯分布（正态分布）在异常检测中的应用。通过回顾高斯分布的基本概念，我理解了均值μ决定分布中心位置，标准差σ控制曲线宽度的特性。在异常检测中，我们利用高斯分布建立概率模型，计算新样本的概率密度，当p(x)低于阈值ε时判定为异常。这种方法能够有效识别与正常模式显著偏离的数据点。

Abstract

Today’s lesson focused on the application of Gaussian distribution (normal distribution) in anomaly detection. By reviewing fundamental concepts of Gaussian distribution, I understood how the mean μ determines the center position and the standard deviation σ controls the curve width. In anomaly detection, we use Gaussian distribution to build probability models and compute probability density for new samples. When p(x) falls below a threshold ε, the sample is identified as an anomaly. This method effectively detects data points that significantly deviate from normal patterns.

高斯正态分布

为了进行异常检测，我们需要使用高斯分布，也称为正态分布，所以当我们听到说高斯分布或正态分布，它们实际上是同一个东西

高斯分布我们之前肯定学习过，这里只简单地回顾一些关键点
σ被称为标准差，而σ的平方被称为分布的方差
这条曲线显示的是p(x)或x的概率

这个μ是高斯分布曲线的中心，而曲线的宽度由参数σ决定，让我们看看几个例子来看看μ和σ如何影响高斯分布

首先先看这个非常标准的高斯分布曲线，μ = 0 作为这个曲线的中心，但是当我们看到下一个图像时

σ被改成了0.5，它变成了一个更窄的曲线了，但是我们直到，概率总和始终为1，所以高斯分布曲线的面积始终为1，这就是为什么当σ变小时，这个曲线会被拔高

按照我们刚才分析的结果，当宽度变宽时，这个曲线的高度就应该降低，始终牢记p(x) = 1就可以了

这个图变化的原因是μ改变了，因为μ是曲线的中心，所以改变了μ，曲线的位置随之改变

让我们回到刚才的例子，这里有些例子，它们组合后的高斯分布是这样的

我们可以计算μ和σ的平方，我们对μ的估计是所有重新训练样本的平均值，即

假设现在有个例子在这里

有图可知它的p(x)很高，说明这个样本是没有问题的

但是我们看到左边这个样本，它的p(x)很小并且它与其他样本格格不入，说明这个样本是有问题的

总结

今天的学习让我掌握了基于高斯分布的异常检测原理。通过具体的图示和公式，我清晰理解了μ和σ如何影响分布形状，以及如何从训练数据中估计这两个参数。最重要的是，我学会了如何用概率密度来判断样本是否异常——那些落在分布边缘、概率很低的点就是我们需要关注的异常点。这种方法的巧妙之处在于它用概率来量化"正常"的范围，为异常检测提供了数学依据。相比之前凭直觉判断哪些点不正常，现在有了更系统的方法论。这为后续实际应用异常检测算法打下了坚实基础。