1. 项目概述：当傅里叶级数遇见量子机器学习

在经典信号处理领域，傅里叶级数是一个我们再熟悉不过的工具。它像一把精密的瑞士军刀，能将任何复杂的周期信号拆解成一系列简单正弦波和余弦波的叠加。这个从时域到频域的转换，让我们得以洞察信号的“基因”——它的频率构成。但你是否想过，当这个经典数学工具，与代表未来计算范式的量子计算相结合，特别是融入量子机器学习时，会碰撞出怎样的火花？

这正是我们团队近期深入探索并验证的核心课题。量子计算的核心优势，如叠加态和量子干涉，与傅里叶分解的“化繁为简”思想有着天然的亲和力。一个量子态可以同时处于多种可能性的叠加中，这本身就类似于一个包含了多种频率成分的复杂信号。而量子机器学习模型，本质上是一个由参数化量子电路定义的函数。我们的核心猜想是： 一个设计得当的量子机器学习模型，其输入-输出关系可以自然地表达为一个傅里叶级数 。这意味着，量子模型天生就擅长学习和表达具有周期性或频域特征的模式。

为了验证这一猜想，我们设计了一套基于哈密顿量编码的量子机器学习框架。通过巧妙的电路设计，我们实现了三角插值、二元及多元分类器，并探索了其在量子信号处理中的应用。更重要的是，我们提出并验证了一种基于量子机器学习近似计算傅里叶系数的通用方法。所有实验均在主流的量子计算模拟框架PennyLane上完成。本文将为你彻底拆解这一融合了经典数学智慧与量子计算潜力的技术路径，从核心原理、电路设计、到实操细节与避坑指南，手把手展示如何构建并应用一个“傅里叶化”的量子模型。

2. 核心原理：为什么量子模型天生是傅里叶级数？

要理解量子机器学习模型与傅里叶级数的内在联系，我们不能停留在表面类比，必须深入到其数学本质和物理实现。

2.1 量子模型的函数表达

首先，我们明确一个监督学习量子模型的基本形式。给定经典输入数据 ( \vec{x} ) 和模型参数 ( \vec{\theta} )，一个典型的量子模型输出一个期望值，其数学表达为： [ f_{\vec{\theta}}(\vec{x}) = \langle 0 | U^{\dagger}(\vec{x}, \vec{\theta}) , O , U(\vec{x}, \vec{\theta}) | 0 \rangle ] 这里，( U(\vec{x}, \vec{\theta}) ) 是参数化量子电路，它同时编码了输入数据 ( \vec{x} ) 和可调参数 ( \vec{\theta} )。( O ) 是一个可观测量，通常选择泡利算符（如 ( Z ) ）或其线性组合。这个表达式描述的是：将初始量子态 ( |0\rangle ) 通过电路 ( U ) 演化，然后测量可观测量 ( O ) 的期望值。

2.2 数据编码：哈密顿量编码的魔力

关键在于数据如何被编码进量子电路 ( U ) 中。我们采用了 哈密顿量编码 策略。具体来说，我们设计一个特征映射（Feature Map）电路 ( F(\vec{x}, \beta) )，其作用是对应于执行一个与数据相关的酉演化： [ F(\vec{x}, \beta) = e^{-i x_1 \beta H_1} \otimes e^{-i x_2 \beta H_2} \otimes \ldots \otimes e^{-i x_N \beta H_N} ] 其中，( H_p ) 是作用在第 ( p ) 个量子比特（或量子子系统）上的哈密顿量，( \beta ) 是一个缩放超参数，用于调节数据影响的强度。这种编码方式的优势在于，它直接利用了量子系统的自然演化，将数据 ( x_p ) 转化为旋转角度。

假设我们选择的哈密顿量 ( H_p ) 是对角化的（例如，使用泡利 ( Z ) 算符，因为 ( Z = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1| ) 本身即是对角矩阵）。那么，它的本征值集合是离散的。对于单个量子比特使用 ( Z ) 编码，其本征值就是 +1 和 -1。

2.3 从量子电路到傅里叶级数：关键的推导

现在，我们将完整的电路 ( U ) 视为特征映射 ( F ) 和一个参数化变分电路 ( V(\vec{\theta}) ) 的组合：( U = F(\vec{x}, \beta) V(\vec{\theta}) )。为简化分析，我们可以通过数学变换，将变分电路 ( V(\vec{\theta}) ) 的作用吸收到初始态 ( |\Phi\rangle ) 和可观测量 ( O’ ) 中。经过一系列推导（详细过程涉及将量子态在计算基下展开，并代入期望值公式），模型的输出可以重写为如下形式： [ f_{\text{Fourier}}(\vec{x}) = \sum_{\vec{j}} \sum_{\vec{k}} \alpha_{\vec{j}}^* \alpha_{\vec{k}} O’ {\vec{j},\vec{k}} , e^{i \vec{x} \beta \cdot (\vec{\Lambda} {\vec{k}} - \vec{\Lambda}_{\vec{j}})} ] 这个公式具有决定性的意义。让我们拆解它：

• ( \vec{j}, \vec{k} ) 是多索引，遍历所有量子比特基态的组合（例如，对于2个量子比特，它们遍历 00 , 01 , 10 , 11 ）。
• ( \vec{\Lambda}_{\vec{j}} ) 是一个向量，其分量是哈密顿量 ( H_p ) 对应于基态 ( |\vec{j}\rangle ) 的本征值。
• ( \alpha_{\vec{j}}, \alpha_{\vec{k}} ) 和 ( O’_{\vec{j},\vec{k}} ) 是由变分电路 ( V(\vec{\theta}) ) 和初始态、可观测量共同决定的复系数。

看指数项 ：( e^{i \vec{x} \beta \cdot (\vec{\Lambda} {\vec{k}} - \vec{\Lambda} {\vec{j}})} )。由于 ( \vec{\Lambda} ) 的分量来自哈密顿量的本征值，对于泡利 ( Z ) 编码，其本征值为 ±1。因此，( (\vec{\Lambda} {\vec{k}} - \vec{\Lambda} {\vec{j}}) ) 的每个分量只能是 -2, 0, 或 +2。这意味着指数项变成了 ( e^{i \omega \cdot \vec{x}} ) 的形式，其中频率 ( \omega ) 由 ( \beta ) 和本征值差的整数倍决定。

因此，整个求和式 ( f_{\text{Fourier}}(\vec{x}) ) 正是 一个多元傅里叶级数 ！频率谱 ( \omega ) 完全由编码哈密顿量 ( H_p ) 的谱决定，而傅里叶系数 ( c_{\vec{\omega}} = \alpha_{\vec{j}}^* \alpha_{\vec{k}} O’_{\vec{j},\vec{k}} ) 则由量子电路的参数 ( \vec{\theta} ) 决定，可以通过训练进行优化。

核心洞见 ：通过采用对角哈密顿量（如泡利Z）进行数据编码，量子模型所能表达的函数族被天然地限制在了一组离散频率构成的傅里叶级数上。模型的“表达能力”或“频率容量”取决于量子比特的数量和编码方式。增加量子比特或采用更复杂的编码哈密顿量，可以引入更丰富、更高频的成分。

2.4 与经典神经网络的对比

这一点与经典神经网络有本质区别。经典神经网络（如MLP）通过激活函数引入非线性，其频率成分是隐含且复杂的。而我们的量子模型，其可学习的频率是 显式且由硬件（编码方式）预先定义 的。这既是限制，也是优势：它让我们能精确控制模型所能学习的频带，特别适合先验知识表明问题具有特定频域特征的场景，如信号处理、周期性时间序列预测等。

3. 量子电路设计与实现细节

理解了原理，我们进入实战环节。如何具体构建一个能实现傅里叶级数表达的量子机器学习模型？下图展示了一个单量子比特的基础电路单元，它是我们所有复杂模型的基石。

（想象一个量子电路图，此处用文字描述）
电路从左到右：
1. 初始化 |0> 态。
2. 特征映射层 (F)：一个 RY(β * x) 门，接着一个 RZ(β * x) 门。这一组操作将经典数据 x 编码到量子态的幅度和相位中。
3. 变分层 (V)：一个 RY(θ) 门，这是一个可训练的参数门。
4. 测量：在计算基下测量泡利 Z 算符的期望值。

这个简单电路对应的输出函数，经过推导，正是 ( f(x) = a + b \sin(\omega x) + c \cos(\omega x) ) 的形式，一个最简单的傅里叶级数（仅包含基频）。其中，频率 ( \omega ) 由缩放因子 ( \beta ) 决定，系数 ( a, b, c ) 由参数 ( \theta ) 决定。

3.1 构建深度量子网络：引入“层”的概念

单个“神经元”（即上述单层电路）的表达能力有限。为了学习更复杂的函数，我们需要增加模型的“深度”，即引入多个这样的基础单元层，并让数据在其中重复编码。这模仿了经典深度神经网络的结构。

我们的完整模型定义为： [ U(\vec{x}, \vec{\theta}, \beta) = \prod_{l=1}^{L} [ F(\vec{x}, \beta) , V(\vec{\theta}^{(l)}) ] ] 这里，( L ) 代表层数。 每一层都重新编码一次输入数据 ( \vec{x} ) ，这是与许多传统量子机器学习模型不同的关键设计。每一层的特征映射 ( F ) 使用相同的 ( \beta ) 和 ( \vec{x} )，但每一层的变分电路 ( V ) 拥有独立的参数 ( \vec{\theta}^{(l)} )。

这种设计的妙处在于： 每一层的数据重新编码，都会在傅里叶级数中引入更高次的谐波频率 。具体来说，一个 L 层的模型，其输出函数可以表达为频率是 ( \beta ) 的整数倍，最高可达 ( L ) 倍基频的傅里叶级数。这相当于扩展了模型的频率谱，使其能够拟合更复杂、更高频的信号。

3.2 多量子比特与纠缠：处理多元函数与分类

对于多元输入 ( \vec{x} = (x_1, x_2, …, x_N) )，我们使用 N 个量子比特，每个量子比特负责编码一个输入变量。特征映射作用于所有量子比特： [ F(\vec{x}, \beta) = \bigotimes_{p=1}^{N} e^{-i x_p \beta H_p} ] 变分电路 ( V(\vec{\theta}) ) 则包含单量子比特旋转门和用于创建纠缠的双量子比特门（如 CNOT、CRY 等）。纠缠的引入至关重要，它允许不同量子比特代表的频率模式之间产生交互，使得模型能够表达多元函数中变量之间的耦合关系，而不仅仅是单变量函数的简单叠加。

在分类任务中，我们通常采用两种策略：

1. 期望值分类 ：对于二分类，我们训练模型使得某一类输入对应的期望值为正，另一类为负。预测时取输出的符号。
2. 概率幅分类 ：对于多分类（C 类），我们可以使用 ( \lceil \log_2(C) \rceil ) 个量子比特。模型的输出态 ( |\psi(\vec{x})\rangle ) 是一个叠加态，其计算基态 ( |i\rangle ) 的概率幅 ( f_{\theta_i}(\vec{x}) ) 可以解释为属于第 i 类的“置信度”。我们选择概率最大的基态作为预测类别。通过引入纠缠和只在部分量子比特上测量，可以在不显著增加电路宽度（量子比特数）的情况下处理更多类别，并有助于缓解“贫瘠高原”问题。

3.3 实操要点与参数初始化

• 缩放因子 ( \beta ) 的选择 ：( \beta ) 控制了基频的大小。如果输入数据 ( x ) 的变化范围是 ( [0, 2\pi] )，设置 ( \beta=1 ) 是合理的。如果数据范围不同，需要进行归一化，或相应地调整 ( \beta )。一个经验法则是，确保 ( \beta \cdot \text{max}(x) ) 覆盖你期望模型学习的主要频率范围。
• 层数 ( L ) 的确定 ：层数决定了模型能表达的最高频率。对于平滑函数，少数几层可能就够了。对于包含急剧跳变（如方波）的函数，需要更多层来捕获高频谐波以抑制吉布斯现象。可以从较小的 ( L )（如3-5）开始，根据验证集误差调整。
• 参数初始化 ：变分参数 ( \vec{\theta} ) 通常从 ( [0, 2\pi] ) 均匀随机初始化。对于深度电路，建议使用“身份块”初始化，即让初始的 ( V(\vec{\theta}) ) 近似为单位矩阵，这有助于在训练初期保持梯度。
• 优化器选择 ：由于量子电路的期望值作为损失函数可能是非凸且存在噪声的，建议使用自适应学习率的优化器，如 Adam 或 RMSprop。学习率可以设置得较小（如 0.01 或 0.001）。

避坑指南：警惕“贫瘠高原” 随着量子比特数和电路深度的增加，量子电路的损失函数梯度可能会指数级地趋近于零，这种现象称为“贫瘠高原”。我们的层状结构设计，通过在每一层重新注入经典数据，在一定程度上打破了电路的完全随机性，有助于缓解此问题。此外，在变分电路中谨慎使用纠缠门（如将 CNOT 门限制在相邻量子比特之间），而非全连接，也是一个有效的策略。

4. 应用场景一：量子三角插值与信号处理

基于傅里叶级数的量子模型，最直接的应用就是函数插值，尤其是对周期信号的拟合。我们使用正弦波、余弦波、方波和锯齿波作为目标函数进行了系统测试。

4.1 实验设置与流程

1. 数据准备 ：在目标区间（如 ( [0, 2\pi] )）内均匀采样生成训练数据点 ( {x_i, y_i = f_{\text{target}}(x_i)} )。
2. 模型构建 ：采用单量子比特、L 层的电路。编码哈密顿量使用 ( Z ) 算符。
3. 损失函数 ：采用均方误差（MSE）损失：( \mathcal{L} = \frac{1}{N} \sum_i (f_{\theta}(x_i) - y_i)^2 )。
4. 训练 ：使用经典优化器（如 Adam）更新变分参数 ( \vec{\theta} )，最小化损失函数。

4.2 结果分析与吉布斯现象

我们的实验成功复现了经典傅里叶级数逼近的所有关键特性：

• 平滑函数拟合 ：对于正弦、余弦等平滑函数，即使层数较少（L=3-5），模型也能快速收敛，实现高精度拟合。
• 非连续函数逼近 ：对于方波和锯齿波，模型的表现完美体现了 吉布斯现象 。当层数（即傅里叶项数）有限时，在函数的不连续点附近会出现明显的过冲和振荡，且过冲量不随层数增加而消失，约为跳变值的9%。这与经典傅里叶级数的数学性质完全一致。
• 频率控制 ：通过调整缩放因子 ( \beta )，我们可以控制模型学习的主频率。对于高频信号，需要增大 ( \beta ) 或增加层数 ( L ) 来提供足够的高频分量。

下图概念性地展示了不同层数对方波信号的拟合效果： （此处描述图表，而非生成）

• L=3, n=20 ：拟合曲线非常平滑，无法捕捉方波的陡峭边缘，近似为一个低频正弦波。
• L=3, n=100 ：数据点更密，但拟合曲线形状类似，说明欠拟合主要源于模型容量（频率不足），而非数据点数量。
• L=20, n=100 ：拟合曲线开始呈现方波形状，但在跳变边缘出现明显的吉布斯过冲和振荡。
• L=30, n=100 ：过冲和振荡更加密集，但过冲的幅度并未减小，逼近效果在均方误差意义下更好，但无法完全消除吉布斯现象。

4.3 在量子信号处理中的应用

哈密顿量模拟是量子计算的核心问题之一。一个时间无关哈密顿量 ( \hat{H} ) 的时间演化算符是 ( e^{-i\hat{H}t} )。如果 ( \hat{H} ) 的本征态为 ( |\lambda\rangle )，本征值为 ( E_\lambda )，则演化算符可写为 ( \sum_\lambda e^{-iE_\lambda t} |\lambda\rangle\langle\lambda| )。

我们的量子模型可以用于模拟特定形式的演化。例如，假设我们想模拟函数 ( p(x) = \cos(E x) ) 或 ( g(x) = \sin(E x) )，其中 ( x ) 可以视为时间或某个参数。我们可以将目标哈密顿量 ( \hat{H} ) 的对角元（即本征值 ( E_\lambda ) ）编码为我们的数据缩放因子 ( \beta ) 的一部分，然后训练量子模型去拟合 ( \cos(\beta E x) )。这为在近量子设备上模拟特定哈密顿量的动力学行为提供了一种变分近似方法。

5. 应用场景二：量子分类器构建

我们将上述模型框架应用于分类任务，构建了量子神经网络分类器。

5.1 二分类器实现

对于二分类问题，我们使用单量子比特或两量子比特电路。模型输出是泡利Z算符的期望值，范围在 ([-1, +1])。我们设定一个阈值（通常为0），将输出分为两类。损失函数采用均方误差或铰链损失。

我们生成了多种经典数据集进行测试，包括“同心圆”、“内外方形”等非线性可分数据集。实验结果表明：

• 模型容量随深度增加 ：如下表所示，随着层数（L）和参数量的增加，模型在测试集上的准确率总体呈上升趋势。这表明更深的电路（更丰富的傅里叶频率组合）提供了更强的分类决策边界拟合能力。

量子比特数	层数 (L)	参数量	准确率 (%)
1	1	3	52.6
1	4	12	66.6
1	10	30	73.9
2	1	6	48.9
2	3	18	84.5
2	6	36	92.1
2	8	48	92.5

• 纠缠的作用 ：对比单量子比特和两量子比特模型，在相近参数量下（例如~30个参数），两量子比特模型凭借纠缠带来的变量交互能力，取得了显著更高的准确率（92.5% vs 73.9%）。纠缠门使得模型能够学习输入特征之间复杂的相互作用关系。

5.2 多分类器拓展

对于K类分类问题，至少需要 ( n = \lceil \log_2 K \rceil ) 个量子比特。我们不再直接使用单个期望值，而是读取所有 ( 2^n ) 个计算基态的概率（或部分概率）。通过设计，使第 ( k ) 类的输入数据最大概率地坍缩到第 ( k ) 个基态。损失函数可以设计为负对数似然损失。

在实际操作中，为了减少资源消耗和缓解贫瘠高原，我们常采用“压缩读取”策略：使用 ( n ) 个量子比特，但只测量其中第一个量子比特的期望值，并通过经典后处理将连续的期望值映射到多个类别。或者，通过引入受控旋转门（如 CRY）来创建丰富的纠缠，但最终只从少数量子比特中提取信息。

5.3 一个实际案例：社会工作者调度问题（SWP）

我们将此模型应用于一个简化版的资源调度问题（社会工作者问题）。问题涉及将有限的社会工作者（SW）分配给有需求的病人，目标是最大化某种效益或满足度。我们将每个分配方案编码为一个特征向量，作为量子分类器的输入，输出则表示该方案是否属于“高效益”类别。

实验中使用2-4个量子比特，2层电路。结果表明，对于小规模问题实例，量子分类器能够以显著高于随机猜测的准确率（例如70.3%）识别出好的调度方案。这证明了该框架处理具有组合优化特征的实际数据的能力。

6. 傅里叶系数提取与模型解释性

量子模型的一个常见批评是“黑箱”特性。然而，在我们的框架下，模型具有极强的可解释性：它就是一个傅里叶级数。因此，我们可以尝试从训练好的量子模型中提取出具体的傅里叶系数 ( c_{\omega} )。

6.1 理论方法与实操挑战

理论上，根据公式 ( f_{\theta}(x) = \sum_{\omega} c_{\omega} e^{i\omega x} )，如果我们能计算出模型在所有频率 ( \omega ) 上的输出，就可以通过逆变换得到 ( c_{\omega} )。频率 ( \omega ) 是已知的（由 ( \beta ) 和编码哈密顿量决定，为 ( k \cdot \beta ) 的整数倍，k 为整数）。

挑战在于，对于一个有 ( N ) 个量子比特、( L ) 层的电路，可能的频率组合数量随着 ( N ) 和 ( L ) 指数增长。精确计算所有系数需要指数级多的测量，这在实践中不可行。

6.2 实用近似方法：经典FFT辅助

我们提出一种实用的混合方法：

1. 在输入域均匀采样大量点 ( x_s )。
2. 运行训练好的量子模型，计算其预测值 ( f_{\theta}(x_s) )。
3. 对这些离散的 ( (x_s, f_{\theta}(x_s)) ) 数据对应用 经典快速傅里叶变换（FFT） 。
4. FFT输出的主要频率分量及其幅值，即为对真实量子傅里叶系数 ( c_{\omega} ) 的近似。

这种方法巧妙地将量子模型的计算优势（可能是制备某些量子态）与经典FFT的高效频谱分析能力结合。我们通过实验验证，对于周期函数，从量子模型采样后再做FFT得到的频谱，与理论分析中模型应包含的频率高度吻合。

6.3 意义：连接经典与量子的桥梁

这一方法不仅增强了模型的可解释性（我们可以直观地看到模型学会了哪些频率成分），更重要的是，它 为利用经典信号处理技术来分析和设计量子模型打开了大门 。例如，我们可以根据目标函数的频谱特性，预先决定需要多少量子比特和多深的电路，从而实现更高效的硬件资源利用。

7. 常见问题、局限性与未来方向

在实际开发和实验过程中，我们遇到了诸多挑战，也清晰地看到了当前框架的边界。

7.1 典型问题与排查

1. 训练不收敛或收敛至差解

   • 可能原因 ：初始参数陷入局部最优；学习率设置不当；存在严重的贫瘠高原。
   • 排查与解决 ：
     • 多次随机初始化 ：尝试不同的随机种子初始化参数，选择损失下降最好的那次。
     • 调整学习率 ：尝试更小的学习率，或使用学习率衰减策略。
     • 简化电路 ：如果使用深电路或多量子比特，先尝试用极浅（L=1）或单比特电路验证数据流和损失函数是否正确。
     • 梯度检查 ：在模拟器中，可以计算解析梯度或使用有限差分法估计梯度，观察梯度是否过小。

2. 模型表达能力不足（欠拟合）

   • 现象 ：训练集和验证集误差都很大，模型无法拟合简单趋势。
   • 解决 ：增加层数 ( L ) 以引入更高频率。增加量子比特数以处理更多变量或更复杂的频率交互。调整缩放因子 ( \beta )，使其与数据特征尺度匹配。

3. 过拟合

   • 现象 ：训练集误差很小，但验证集误差很大。
   • 解决 ：量子模型同样会过拟合。可以采用正则化技术，如在损失函数中加入参数范数惩罚项。更重要的是， 减少层数 ( L ) 。过多的层会引入不必要的高频噪声分量，降低模型泛化能力。使用验证集早停是有效方法。

4. 对高频信号学习困难

   • 分析 ：这是由量子模型频率谱的离散性决定的。如果目标信号的主频率不在模型频率集 ( { k \cdot \beta } ) 附近，模型将无法精确拟合。
   • 解决 ：可以通过在编码前对输入数据 ( x ) 进行线性缩放，使其主要变化范围与模型的基频周期对齐。或者，探索使用非对角的哈密顿量进行编码，这可能会产生更密集的频率谱。

7.2 当前框架的局限性

1. 硬件限制 ：当前含噪声中等规模量子设备比特数有限，相干时间短，限制了电路的深度和宽度。我们的实验均在模拟器上进行，向真实硬件迁移需考虑噪声和误差缓解。
2. 频率谱的离散性 ：基于对角哈密顿量编码的模型，其频率是离散且均匀间隔的。这限制了其逼近任意频率连续信号的能力，是一种“盒装”的表达能力。
3. 计算傅里叶系数的成本 ：如第6节所述，精确提取所有系数是指数级困难的。近似方法（如FFT辅助）的精度取决于采样密度。
4. 经典优化瓶颈 ：训练过程依赖经典优化器，对于高维参数空间，优化过程可能非常缓慢，且容易陷入局部最优。

7.3 未来探索方向

1. 更复杂的编码策略 ：研究非对角的、或数据依赖的哈密顿量编码，以生成更丰富、甚至连续可调的频率谱，提升模型表达能力。
2. 专用硬件实现 ：在离子阱、超导等量子硬件上实验验证该框架，并开发针对性的错误缓解和编译优化策略。
3. 与经典模型融合 ：将量子傅里叶层作为混合神经网络中的一个组件，处理输入数据中具有强周期性的部分，其余部分由经典网络处理，发挥各自优势。
4. 探索新应用 ：在时间序列预测（金融、气象）、周期性模式识别（语音、振动信号）、以及量子化学/材料科学中具有周期势的系统中，进一步验证该方法的实用价值。

经过一系列从理论推导到代码实现的深入探索，我们证实了基于傅里叶级数的量子机器学习模型不仅是一个优美的理论框架，更是一个具备实际功能且可解释性强的工具。它像一座桥梁，一端连接着经典的信号处理与调和分析，另一端通向量子计算的叠加与干涉世界。虽然前路仍有硬件和算法层面的挑战待攻克，但这条路径无疑为在量子设备上处理经典世界中海量的时序与频域数据，提供了一个清晰而有力的起点。